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Ok, donc comme ma vie est merdique à ce point, je vais essayer de démontrer les expressions de forme fermées de deux sommes infinies. On va bien rigolay. Parce que, en fait, il y a PLEIN de truc à dire.

"Expression de forme fermées" ?

Oui. La formule quoi.

Somme des entiers naturels

Classique.

Sn=k=1nk=1+2+3+...+n

Ce qu'on va se proposer de faire, c'est démontrer par récurence

HR(n):Sn=k=1nk=n(n+1)2

On initialize notre propriété avec, tout à fait au hasard, 1.

HR(1):S1=k=11k=1(1+1)2=22=1

Heu... Voilà.

Bon, du coup, Par définition

Sn+1=Sn+n+1

Supposant HR(n) vraie pour un entier n fixé, on va montrer qu'il en découle nécessairement HR(n+1) :

HR(n+1):Sn+1=(n+1)(n+1+1)2
Sn+1=(n+1)(n+1+1)2<=>
Sn+n+1=n²+3n+22<=>
n(n+1)2+n+1=n²+3n+22<=>
n(n+1)+2n+22=n²+3n+22

C.Q.F.D

Trivial, oui, oui, je sais... Mais peut-être pas tant que ça.

Démonstration alternative

Il est intéressant de noter que si comme moi, ingénieur au rabais, vous découvrez le monde fabuleux et féérique des mathématiques, cette démonstration par récurrence, en fait, ne nous donne pas vraiment d'intuition sur l'origine de la formule. Elle nous dis juste qu'elle fonctionne. Et ça, les amis, c'est un gros problème dans l'enseignement. Mais on est pas la pour faire de la politique. On est là pour comprendre ce qu'on fait.

On va donc essayer de proposer une démonstration alternative basé sur une approche plus intuitive. Démonstration que Carl Friedrich Gauss aurait réalisé à l'âge de neuf ans. C'est vrai que je me sentais pas assez naze jusque là.

Cette formule qu'on a vu, qu'on appel aussi "formule de sommation de Gauss", peut être matérialisé par un dessin.

Et là, ça devient tout de suite plus clair. Quand n est fixé à 4. On construit une sorte d'escalier dans lequel chaque marche, en noir, correspond à une itération de la somme.

Comme ce qu'il se passe est représenté dans l'espace, des choses appairaissent subitement à l'esprit, et l'on peut avoir instantanément l'intuition d'une formule qui in fine nous ramène à celle de la définition d'origine :

Sn=n²2+n2=n(n+1)2

C'est ce qu'on appel une preuve sans mot, dont notre exemple est un célèbre représentant.

Comme ces démonstrations sont parfoit trompeuses (ça fera peut-être l'objet d'un autre billet) il est utile, voir nécessaire, de réaliser une démonstration plus formelle qui elle, malheureusement, pourrait être moins intuitive sur l'origine de la propriété que l'on cherche démontrer.

Dans notre cas, cette démonstration peu intuitive est celle que nous avons réalisé par récurrence au début de cet article.

Série géométrique

n=0arn=a+ar+ar2+...+arn=a1r

avec

0r<1

Donc là, il s'agit d'une série d'éléments d'une suite géométrique. Comme je suis grand seigneur, je vais rapidement expliquer ce qu'est une suite géométrique. De rien.

Donc une suite géométrique peut trivialement être décrite comme une fonction récursive dont le terme courant est le résultat du produit d'un nombre q et du terme précédent de la suite.

Un=r.Un1

avec

U0=a

On dit que r est la raison de la suite Un.

Et donc, dans le cas de notre série on somme les n termes de notre suite géométrique avec n allant de 0 vers l'infini et au delà.

Bon, et du coup, ce que l'on veut tacher de démontrer c'est :

n=0arn=a1r

Démonstration

Rappelons que

0r<1

et notons

Sn=k=0arn=a+ar+ar2+...+arn

Il vient que

r.Sn=n=0arn+1=ar+ar2+ar3+...+arn+1

Et que se passe-t-il si on effectue Snr.Sn ?

Snr.Sn =a+ar+ar2+...+arn
arar2ar3...arn+1
Sn(1r) =aarn+1

On voit que tous les termes s'annulent à l'exception de a et arn+1. On commence à arriver au bout, parce que du coup :

Sn=aarn+11r

Et ça, les amis, et bien ça ressemble vachement à la formule que l'on cherche à démontrer ! Et c'est aussi là que 0r<1 prend toute son importance. Parce que ça signifie que quand n tend vers l'infini, arn+1 tend vers 0. Du coup... On a bien

n=0arn=a1r

C.Q.F.D

Ou pas ?

Parce que tous ça nous amène à la notion de convergence et de limite. Dans notre cas, la situation est assez intuitive, alors c'est cool. Mais il se trouve qu'il y a un formalisme spécifique pour les cas comme le notre où une série, une suite, ou une fonction converge vers une valeur donnée.

Du coup, comme on est des gens sérieux. On verra quand même ça, mais dans dans le prochain billet.

Merci au maître du logos pour sa précieuse relecture et ses conseils !

Ok, donc voilà les bails. Pour développer mon synthétiseur granulaire. J'ai besoin de mathématiques appliqués au traitement du signal. Or mes connaissances dans le domaine sont... Très minimales, pour rester poli.

En mesurant l'étendu de mon ignorance, et en réalisant qu'un peu comme John Snow, je ne sais rien, j'ai entrepris de revoir les bases. Je m'intéresse notamment au logarithme et la démonstration de ses propriétés.

Or, je constate avec désespoir que dans la littérature que l'on peut trouver sur internet j'ai le plus souvent, au choix :

  • Une propriété du logarithme, démontré avec une autre propriété du logarithme.
  • Des démonstrations réalisées sur la base de concepts que je ne maitrise absolument pas.

L'un ou l'autre, je ne suis pas plus avancé. Du coup, ce que j'aimerais c'est une démonstration simple qui n'implique pas d'autres connaissances que les opérations algébrique sur les puissances dont le logarithme est la continuité.

Comme on est jamais mieux servi que par soit même (ou par les copains qui redirigent vers les bonnes ressources). On va se proposer ici de démontrer les propriétés algébriques du logarithme.

Définition du logarithme

Soit p le résultat de l'élévation à la puissance x, d'un nombre a.

Le logarithme de base a, de p, permet de retrouver l'exposant x.

Malin !

Du coup, mathématiquement, ça s'écrit comme ça

ax=p<=>loga(p)=x

Précisont également qu'une conséquence de cette définition est que

x,p

En d'autre terme, dans ℝ, le résult d'une élévation de a à la puissance x, ne peut pas être négatif.

Le logarithme d'un produit

(P1) :loga(pq)=loga(p)+loga(q)

Pour démontrer cette propriété (P1) il faut fortuitement remarquer que

loga(ap)=p

Comment ? Et bien c'est simple. Notons

q=ap

alors

loga(ap)=loga(q)=y<=>ay=q=ap
<=>y=p

Fort de ce petit lemme de derrière les fagots, lemme que nous appelerons (L1), on peut procéder à notre démonstration de (P1).

Par définition on a

loga(p)=x<=>ax=p
loga(q)=y<=>ay=q

Du coup, on peut écrire :

loga(pq)=
loga(ax.ay)=
loga(ax+y)

Et grâce à (L1), qui est en fait une application de la définition, on a

loga(ax+y)=
x+y=
loga(p)+loga(q)

C.Q.F.D

Le logarithme d'un quotient

(P2) :loga(pq)=loga(p)loga(q)

C'est la même logique que pour la démonstration de (P1) : En remplaçant p et q par leur équivalent.

loga(p)=x<=>ax=p
loga(q)=y<=>ay=q

On obtient

loga(pq)=
loga(axay)=
loga(axy)

Encore une fois, grâce à (L1), on voit naturellement que

loga(axy)=
xy=
loga(p)loga(q)

C.Q.F.D

Le logarithme d'une puissance

(P3) :loga(pq)=loga(p).q

Comme précédemment on remplace p par son équivalent. C'est à dire

loga(p)=x<=>ax=p

On obtient

loga(pq)=
loga((ax)q)=
loga(axq)

Toujours avec (L1), on voit naturellement que

loga(axq)=
xq=
loga(p).q

C.Q.F.D

Le changement de base

(P4) :loga(p)=logb(p).KavecK=1logb(a)

Donc là, ce qu'on veut, c'est démontrer

K=1logb(a).

Comme précédemment, on note

ax=p

En remplaçant p on a alors :

loga(p)=logb(p).K<=>
loga(ax)=logb(ax).K<=>

Grâce à (P3) il vient :

loga(ax)=logb(ax).K<=>
x.loga(a)=x.logb(a).K<=>
x.loga(a)x.logb(a)=K

Avec (L1) on peut finalement conclure :

1logb(a)=K

C.Q.F.D

Voilà, encore un prétexte pour jouer avec MathML et le module VenC qui va bien pour cette usage. Et, je m'endormirais moins bête.

Bon, donc, il s'agit d'une petite démonstration pas folichonne, mais quand on est un noob comme moi, on se challenge comme on peut.

On se propose de démontrer la proposition (P) suivante.

n,(a+ib)n+(aib)n

Lemme (A)

Notons

z1=(a+ib) z2=(c+id)

Dans un premier temps, intéressons nous à ce qu'il se passe quand on multiplie deux nombres complexes tous les deux conjugués :

z1¯.z2¯=(a+ib)¯(c+id)¯
=(aib)(cid)
=aciadibcbd
=(acbd)i(ad+bc)

Puis regardons le conjugué du produit de ces deux nombres complexes :

z1.z2¯=(a+ib)(c+id)¯
=ac+iad+ibcbd¯
=(acbd)+i(ad+bc)¯
=(acbd)i(ad+bc)

On montre ainsi que

z1¯.z2¯=z1.z2¯

Corollaire (C)

Pour un nombre complex z on a

z¯.z¯=z.z¯

Lemme (B)

À présent démontrons par récurrence la propriété

HR(n):n,zn¯=z¯n

La propriété étant vrai pour les cas triviaux n = 0 et n=1, à l'aide du corrolaire (C) on peut initializer ainsi :

z¯.z¯=z¯2z¯.z¯=z.z¯=z2¯ z¯2=z2¯

On aurait pu vérifier formellement HR(0) et HR(1), mais c'est plus rigolo dirons-nous d'utiliser le corrolaire (C) au rang 2.

Supposant HR(n) vrai, pour un n donné, on regarde ce qu'il en est de HR(n+1) :

zn+1¯=zn.z¯

Avec le lemme (A) on a :

zn.z¯=zn¯.z¯

Et comme on suppose HR(n), on a alors :

z¯n.z¯=z¯n+1

C'est à dire

zn+1¯=z¯n+1

L'hérédité est acquise.

Démonstration de (P)

Étant donné la proposition (P)

n,(a+ib)n+(aib)n

On pose

z=(a+ib)

on note alors

n,zn+z¯n

Avec le lemme (B), la proposition (P) peut s'écrire ainsi :

n,zn+zn¯

Or la somme d'une nombre complexe et de son conjugé appartenant toujours à ℝ la propriété (P) est démontrée.

Merci au maitre du logos ;) pour sa précieuse relecture et ses suggestions!