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Là, je suis bien emmerdé. Parce que dans la plupart des livres ou ressources sur internet, la définition du concept de limite est pour le moins velu. Plus velu que la barbe d'un utilisateur de Gentoo.

Quand vous êtes un bras cassé, rescapé de l'enseignement public, comme je le suis moi-même, on comprend vite que les définitions proposées dans -au hasard- "Analyse 1er Année, Seconde Edition" ou bien encore "Mathématiques tout-en-un MPSI · PCSI, 2éme édition", tous deux édités chez DUNOD, peuvent décourager ou laisser sur les rotules.

Et c'est là que le bât blesse, la notion de limite EST intuitive. Alors comment se fait-il que j'ai encore aujourd'hui tant de mal à comprendre ce dont il s'agit quand cela m'est présenté avec des formalismes mathématiques ?

Ben déjà parce que c'est pas si simple, en fait. Ce sujet a occupé les mathématiciens de tous les âges et sa formalisation a pris beaucoup de temps.

Cependant, m'est avis que balancer à la figure de l'étudiant ou du lecteur des définitions arrides est le meilleur moyen de l'éloigner de la compréhension de la chose.

Cette compréhension, je pense qu'on peut l'acquérir en prenant le temps de retracer un peu l'histoire de ce concept au travers de ses enjeux qui ont bien fait galérer sa race les mathématiciens.

Un peu d'histoire

Alors c'est Zénon d'Élée, il se réveille un matin désoeuvré, et il se dit : "Hey, je vais mettre en PLS ces punks de philosophes et de dialecticiens qui pensent que les choses sont indéfiniment divisibles !"

Là dessus le beau et grand Zénon élabore des paradoxes rigolos qui te servirons aussi à briller en société, par exemple, pendant un dîner mondain chiant en famille.

Un de ses paradoxes les plus fameux est celui de la "dichotomie". Voila le bail :

Un Objet O part d'un point A, et doit se rendre en B. Pour se faire il doit d'abord parcourir la moitié de la distance AB. Mais pour ça, il doit d'abord parcourir la moitié de la moitié de la distance AB. Mais encore avant, il devra parcourir la moitié de la moitié de la moitié de l... Bref. On devine que, vu comme ça, le mobile n'arrivera jamais en B parce que ça impliquerait d'effectuer une infinité de mouvement de durée non nul.

Si vous avez suivit, vous remarquerez que ce qu'il se passe dans ce paradoxe est parfaitement modélisé dans le temps par la suite que nous avons vu dans le précédent billet quand r=0.5 et a=1.

Plus précisément, si :

  • la distance total à parcourir est égale à 2m
  • a est la vitesse en m/s,
  • rn est le temps écoulé pour parcourir la n-ième subdivision

La formule nous donne la somme des durées nécessaires pour parcourir chaque n-ième subdivision.

n=0arn=a+ar+ar2+...+arn=a1r
n=00.5n=1+12+14+...+12n

Pour un n finit, effectivement, la durée du mouvement donnée par la formule est inférieur à la durée réel du mouvement.

La seul façon d'obtenir l'égalité est d'avoir un n infiniment grand. En d'autre termes, effectuer une infinité de mouvement de durée non nul...

"Mais alors qu'est-ce que c'est que ces carabistouilles ?"

Dans l'énoncé de départ on peut être trompé par la formulation du problème et la façon dont le phénomène est modélisé dans notre esprit. Ici le formalisme mathématique, on l'a vu, nous montre explicitement que pour arriver au bout de notre mouvement, il faut effectuer une infinité de mouvement MAIS que la somme des durée de ces mouvements converge vers un nombre fini. That's the whole point.

Et là, vous vous dites :

"Mais bordel, l'univers est indéfiniment divisible oui ou merde ?"

Non, le temps et l'espace ne sont pas indéfiniment divisible. Sauf qu'à l'époque, les grecs ne pouvaient pas le savoir. Ils se challengeaient avec ce genre de paradoxes en guise de punchline street crédible.

Ce qu'on "sait" maintenant, c'est que l'univers est fait d'hypervoxels (des pixels d'espace-temps, en 4D). On peut dire en quelque sorte que les opérations mathématiques sont sur le papier infiniment précise, alors que dans la réalité, leur application (ou leur matérialisation) est une approximation à l'échelle de Planck.

L'échelle de quoi?

L'échelle de Planck. Pour faire simple, nous dirons ici qu'il s'agit de la plus petite unité de temps et d'espace où les mesures physiques ont encore du sens dans nos cadres théoriques. En dessous, c'est la hess.

  • En terme d'espace cette longueur vaut 1.616255.1035m
  • En terme de temps cette durée vaut 5.391247.1044s

Ah, ah, est-ce qu'avec ça j'ai besoin de dire que la scène du "Royaume Quantique" dans Ant-man est complétement bullshit ? Oui... enfin c'est joli quand même.

Bon. Voilà. Si vous trouvez tout ça tordu, vous comprenez sans doute maintenant pourquoi la notion de limite est un tel bordel, et pourquoi ça pose tout un tas de question physique et métaphysique moins intuitive qu'il n'y parait.

Bon... À ce stade de l'histoire, on a toujours pas de formalisme pour la notion de limite. Par contre, on a une suite géométrique qui comme on l'a dit nous donne l'intuition d'une telle notion. Parce que nous savons maintenant, de formule sûre, qu'une fonction peut indéfiniment converger vers une valeur finie.

Il se trouve que parmi la foultitude de branches des mathématiques, l'une d'elle s'intéresse particulièrement à l'infinitésimal. Cette branche c'est l'analyse.

Cette discipline existe depuis très longtemps. Plus longtemps que Joe Biden lui-même. Ça remonte à la Grèce antique, comme on l'a vu avec Zénon (sauf qu'à l'époque on en parlait pas comme étant de "l'analyse").

150 ans après lui, Euclide revient avec des bails similaires dans l'un de ses ouvrages « Le livre X des éléments d'Euclide ».

Voilà ce qu'il nous dit, non sans tortuosité :

« Deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées. »

Vous remarquerez que ces mathématiciens, pour d'obscures raisons, ont un goût prononcé pour les formulations alambiqués... Ce n'est que pur hasard si le tome 10 des éléments d'Euclide a été élu "oeuvre la plus relou du game" par tous les confrères au fil des âges. Déso pas déso.

Bon, donc, « on retranche du reste une grandeur plus grande que sa moitié » pourrait être formalisé comme suit :

On partirait d'une suite géométrique :

Un+1=Un.q

tel que

  • U0=A
  • q12
A serait la plus grande des deux grandeurs de départ. et q serait le ratio entre les deux grandeurs. Finalement, on obtiendrait trivialement l'inégalité suivante :

Un+1Un12

Et comme les formules récursives sont casse-couilles on essayerait de trouver une inégalité stylée où il ne resterait plus que Un, A et n.

Zbiiim, on élève tout le monde à la puissance n :

(Un+1Un)n12n
An.(qn+1)nAn.qnn(12)n
qn2+nqn212n
qn2+nn212n
qn12n

Attend, attend, c'est pas finit. Par définition Un=A.qn.

A.qnA.12n
UnA.12n

Voilà. Là on est bon. Du coup, Un représente ce qu'il reste après n retranchement.

Bon, c'est cool et tout mais par contre...

« Il restera une grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées. »

Qu'est-ce que ça veut dire encore que cette merde ?

Ça veut dire que si on continue à retrancher du reste la plus grande part, qu'on prend ce nouveau reste, et qu'on recommence suffisament de fois et bien quelque soit la valeur qu'on se donne, Un sera toujours plus petit.

"Cette valeur qu'on se donne", je le rappelle c'est la plus petite des deux grandeurs proposées dans l'énoncé de départ. On va l'appeler ε.

Encore faut-il qu'un tel ε existe. Essayons de démontrer ça.

Pour commencer, glissons innocement que, en fait, pour n infiniment grand, Un sera infiniment petit.

Cet ε est en fait une borne supérieure. Puisqu'on parle de choses infinitésimales, on peut dire que, en quelque sorte, ε définit le "zoom" sur la relation UnA2n

En langage matheux ça donne :

(P) 0UnA2nε

Ok, ok. Du coup, pour notre démonstration l'idéal serait d'avoir un ε qui dépendrait de n et qui comme Un se rapprocherait de zéro à mesure que n grandirait tout en vérifiant la relation (P). Ça montrerait ainsi que cette borne (ou ce "zoom") ε, même en étant variable, vérifie toujours (P).

Ceci étant dit... Définissons ε. Genre comme ça :

ε=An

On aurait donc in fine

(P) 0UnA2nAn avec n1.

Il est assez évident dans ces circonstances que

A2nAn

Mais juste pour le plaisir d'être verbeux démontrons le quand même.

On commence par montrer par récurrence que

(H) n2n

On initialise (H) avec n=1. On constate sans surprise qu'on est good to go.

Supposant (H) vraie a un rang n fixé, étudions la propriété au rang n+1.

(H) n+12n+1
(H) n+12n.2
(H)n+122n

Et maintenant pour valider (H) au rang n+1 il faut montrer que

(L) n+12n

Easy !

n+12n
n+12n
n2n1
0n1

Voilà. Du coup c'est cool. Notre lemme-inégalité (L) fonctionnant bien, la propriété (H) est donc vérifiée. On a donc

n2n12n1n

En multipliant tout ce beau monde par A on retombe bien sur la partie de la relation (P) que l'on voulait montrer.

Il ne vous a pas échappé cependant que ça ne marche que pour n1. Ce qui n'est pas un problème puisque dans notre relation (P) un n nul entraînerait une division par zéro qui ferait s'auto-détruire tout le multivers.

Ooooook. Et maintenant ? On a un formalisme pour la notion de limite ? Et ben non. Toujours pas. Par contre les copains on a quelque chose qu'Euclide nous dit qui flirt beaucoup avec la définition actuelle de Limite.

En effet, Euclide introduit l'idée de borne qui encadre sa suite géométrique. Cette idée de borne, ou de zoom, est un aspect central dans la définition moderne du sujet qui nous occupe.

On progresse donc. On se sent un peu moins con. On reprend confiance.

Yeah. La suite au prochaine épisode.

Sources

Remerciements

Merci au maître du logos pour sa précieuse relecture et ses conseils !

Ok, donc comme ma vie est merdique à ce point, je vais essayer de démontrer les expressions de forme fermées de deux sommes infinies. On va bien rigolay. Parce que, en fait, il y a PLEIN de truc à dire.

"Expression de forme fermées" ?

Oui. La formule quoi.

Somme des entiers naturels

Classique.

Sn=k=1nk=1+2+3+...+n

Ce qu'on va se proposer de faire, c'est démontrer par récurence

HR(n):Sn=k=1nk=n(n+1)2

On initialize notre propriété avec, tout à fait au hasard, 1.

HR(1):S1=k=11k=1(1+1)2=22=1

Heu... Voilà.

Bon, du coup, Par définition

Sn+1=Sn+n+1

Supposant HR(n) vraie pour un entier n fixé, on va montrer qu'il en découle nécessairement HR(n+1) :

HR(n+1):Sn+1=(n+1)(n+1+1)2
Sn+1=(n+1)(n+1+1)2<=>
Sn+n+1=n²+3n+22<=>
n(n+1)2+n+1=n²+3n+22<=>
n(n+1)+2n+22=n²+3n+22

C.Q.F.D

Trivial, oui, oui, je sais... Mais peut-être pas tant que ça.

Démonstration alternative

Il est intéressant de noter que si comme moi, ingénieur au rabais, vous découvrez le monde fabuleux et féérique des mathématiques, cette démonstration par récurrence, en fait, ne nous donne pas vraiment d'intuition sur l'origine de la formule. Elle nous dis juste qu'elle fonctionne. Et ça, les amis, c'est un gros problème dans l'enseignement. Mais on est pas la pour faire de la politique. On est là pour comprendre ce qu'on fait.

On va donc essayer de proposer une démonstration alternative basé sur une approche plus intuitive. Démonstration que Carl Friedrich Gauss aurait réalisé à l'âge de neuf ans. C'est vrai que je me sentais pas assez naze jusque là.

Cette formule qu'on a vu, qu'on appel aussi "formule de sommation de Gauss", peut être matérialisé par un dessin.

Et là, ça devient tout de suite plus clair. Quand n est fixé à 4. On construit une sorte d'escalier dans lequel chaque marche, en noir, correspond à une itération de la somme.

Comme ce qu'il se passe est représenté dans l'espace, des choses appairaissent subitement à l'esprit, et l'on peut avoir instantanément l'intuition d'une formule qui in fine nous ramène à celle de la définition d'origine :

Sn=n²2+n2=n(n+1)2

C'est ce qu'on appel une preuve sans mot, dont notre exemple est un célèbre représentant.

Comme ces démonstrations sont parfoit trompeuses (ça fera peut-être l'objet d'un autre billet) il est utile, voir nécessaire, de réaliser une démonstration plus formelle qui elle, malheureusement, pourrait être moins intuitive sur l'origine de la propriété que l'on cherche démontrer.

Dans notre cas, cette démonstration peu intuitive est celle que nous avons réalisé par récurrence au début de cet article.

Série géométrique

n=0arn=a+ar+ar2+...+arn=a1r

avec

0r<1

Donc là, il s'agit d'une série d'éléments d'une suite géométrique. Comme je suis grand seigneur, je vais rapidement expliquer ce qu'est une suite géométrique. De rien.

Donc une suite géométrique peut trivialement être décrite comme une fonction récursive dont le terme courant est le résultat du produit d'un nombre r et du terme précédent de la suite.

Un=r.Un1

avec

U0=a

On dit que r est la raison de la suite Un.

Et donc, dans le cas de notre série on somme les n termes de notre suite géométrique avec n allant de 0 vers l'infini et au delà.

Bon, et du coup, ce que l'on veut tacher de démontrer c'est :

n=0arn=a1r

Démonstration

Rappelons que

0r<1

et notons

Sn=k=0arn=a+ar+ar2+...+arn

Il vient que

r.Sn=n=0arn+1=ar+ar2+ar3+...+arn+1

Et que se passe-t-il si on effectue Snr.Sn ?

Snr.Sn =a+ar+ar2+...+arn
arar2ar3...arn+1
Sn(1r) =aarn+1

On voit que tous les termes s'annulent à l'exception de a et arn+1. Dans ce genre de cas, le sympathique sobriquet de "somme téléscopique" est assigné à ce type de formule.

On commence à arriver au bout, parce que du coup :

Sn=aarn+11r

Et ça, les amis, et bien ça ressemble vachement à la formule que l'on cherche à démontrer ! Et c'est aussi là que 0r<1 prend toute son importance. Parce que ça signifie que quand n tend vers l'infini, arn+1 tend vers 0. Du coup... On a bien

n=0arn=a1r

C.Q.F.D

Ou pas ?

Parce que tous ça nous amène à la notion de convergence et de limite. Dans notre cas, la situation est assez intuitive, alors c'est cool. Mais il se trouve qu'il y a un formalisme spécifique pour les cas comme le nôtre où une série, une suite, ou une fonction converge vers une valeur donnée.

Du coup, comme on est des gens sérieux. On verra quand même ça, mais dans le prochain billet.

Merci au maître du logos pour sa précieuse relecture et ses conseils !

Ok, donc voilà les bails. Pour développer mon synthétiseur granulaire. J'ai besoin de mathématiques appliqués au traitement du signal. Or mes connaissances dans le domaine sont... Très minimales, pour rester poli.

En mesurant l'étendu de mon ignorance, et en réalisant qu'un peu comme John Snow, je ne sais rien, j'ai entrepris de revoir les bases. Je m'intéresse notamment au logarithme et la démonstration de ses propriétés.

Or, je constate avec désespoir que dans la littérature que l'on peut trouver sur internet j'ai le plus souvent, au choix :

  • Une propriété du logarithme, démontré avec une autre propriété du logarithme.
  • Des démonstrations réalisées sur la base de concepts que je ne maitrise absolument pas.

L'un ou l'autre, je ne suis pas plus avancé. Du coup, ce que j'aimerais c'est une démonstration simple qui n'implique pas d'autres connaissances que les opérations algébrique sur les puissances dont le logarithme est la continuité.

Comme on est jamais mieux servi que par soit même (ou par les copains qui redirigent vers les bonnes ressources). On va se proposer ici de démontrer les propriétés algébriques du logarithme.

Définition du logarithme

Soit p le résultat de l'élévation à la puissance x, d'un nombre a.

Le logarithme de base a, de p, permet de retrouver l'exposant x.

Malin !

Du coup, mathématiquement, ça s'écrit comme ça

ax=p<=>loga(p)=x

Précisont également qu'une conséquence de cette définition est que

x,p

En d'autre terme, dans ℝ, le résult d'une élévation de a à la puissance x, ne peut pas être négatif.

Le logarithme d'un produit

(P1) :loga(pq)=loga(p)+loga(q)

Pour démontrer cette propriété (P1) il faut fortuitement remarquer que

loga(ap)=p

Comment ? Et bien c'est simple. Notons

q=ap

alors

loga(ap)=loga(q)=y<=>ay=q=ap
<=>y=p

Fort de ce petit lemme de derrière les fagots, lemme que nous appelerons (L1), on peut procéder à notre démonstration de (P1).

Par définition on a

loga(p)=x<=>ax=p
loga(q)=y<=>ay=q

Du coup, on peut écrire :

loga(pq)=
loga(ax.ay)=
loga(ax+y)

Et grâce à (L1), qui est en fait une application de la définition, on a

loga(ax+y)=
x+y=
loga(p)+loga(q)

C.Q.F.D

Le logarithme d'un quotient

(P2) :loga(pq)=loga(p)loga(q)

C'est la même logique que pour la démonstration de (P1) : En remplaçant p et q par leur équivalent.

loga(p)=x<=>ax=p
loga(q)=y<=>ay=q

On obtient

loga(pq)=
loga(axay)=
loga(axy)

Encore une fois, grâce à (L1), on voit naturellement que

loga(axy)=
xy=
loga(p)loga(q)

C.Q.F.D

Le logarithme d'une puissance

(P3) :loga(pq)=loga(p).q

Comme précédemment on remplace p par son équivalent. C'est à dire

loga(p)=x<=>ax=p

On obtient

loga(pq)=
loga((ax)q)=
loga(axq)

Toujours avec (L1), on voit naturellement que

loga(axq)=
xq=
loga(p).q

C.Q.F.D

Le changement de base

(P4) :loga(p)=logb(p).KavecK=1logb(a)

Donc là, ce qu'on veut, c'est démontrer

K=1logb(a).

Comme précédemment, on note

ax=p

En remplaçant p on a alors :

loga(p)=logb(p).K<=>
loga(ax)=logb(ax).K<=>

Grâce à (P3) il vient :

loga(ax)=logb(ax).K<=>
x.loga(a)=x.logb(a).K<=>
x.loga(a)x.logb(a)=K

Avec (L1) on peut finalement conclure :

1logb(a)=K

C.Q.F.D

Voilà, encore un prétexte pour jouer avec MathML et le module VenC qui va bien pour cette usage. Et, je m'endormirais moins bête.

Bon, donc, il s'agit d'une petite démonstration pas folichonne, mais quand on est un noob comme moi, on se challenge comme on peut.

On se propose de démontrer la proposition (P) suivante.

n,(a+ib)n+(aib)n

Lemme (A)

Notons

z1=(a+ib) z2=(c+id)

Dans un premier temps, intéressons nous à ce qu'il se passe quand on multiplie deux nombres complexes tous les deux conjugués :

z1¯.z2¯=(a+ib)¯(c+id)¯
=(aib)(cid)
=aciadibcbd
=(acbd)i(ad+bc)

Puis regardons le conjugué du produit de ces deux nombres complexes :

z1.z2¯=(a+ib)(c+id)¯
=ac+iad+ibcbd¯
=(acbd)+i(ad+bc)¯
=(acbd)i(ad+bc)

On montre ainsi que

z1¯.z2¯=z1.z2¯

Corollaire (C)

Pour un nombre complex z on a

z¯.z¯=z.z¯

Lemme (B)

À présent démontrons par récurrence la propriété

HR(n):n,zn¯=z¯n

La propriété étant vrai pour les cas triviaux n = 0 et n=1, à l'aide du corrolaire (C) on peut initializer ainsi :

z¯.z¯=z¯2z¯.z¯=z.z¯=z2¯ z¯2=z2¯

On aurait pu vérifier formellement HR(0) et HR(1), mais c'est plus rigolo dirons-nous d'utiliser le corrolaire (C) au rang 2.

Supposant HR(n) vrai, pour un n donné, on regarde ce qu'il en est de HR(n+1) :

zn+1¯=zn.z¯

Avec le lemme (A) on a :

zn.z¯=zn¯.z¯

Et comme on suppose HR(n), on a alors :

z¯n.z¯=z¯n+1

C'est à dire

zn+1¯=z¯n+1

L'hérédité est acquise.

Démonstration de (P)

Étant donné la proposition (P)

n,(a+ib)n+(aib)n

On pose

z=(a+ib)

on note alors

n,zn+z¯n

Avec le lemme (B), la proposition (P) peut s'écrire ainsi :

n,zn+zn¯

Or la somme d'une nombre complexe et de son conjugé appartenant toujours à ℝ la propriété (P) est démontrée.

Merci au maitre du logos ;) pour sa précieuse relecture et ses suggestions!