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Ok, donc comme ma vie est merdique à ce point, je vais essayer de démontrer les expressions de forme fermées de deux sommes infinies. On va bien rigolay. Parce que, en fait, il y a PLEIN de truc à dire.

"Expression de forme fermées" ?

Oui. La formule quoi.

Somme des entiers naturels

Classique.

Sn=k=1nk=1+2+3+...+n

Ce qu'on va se proposer de faire, c'est démontrer par récurence

HR(n):Sn=k=1nk=n(n+1)2

On initialize notre propriété avec, tout à fait au hasard, 1.

HR(1):S1=k=11k=1(1+1)2=22=1

Heu... Voilà.

Bon, du coup, Par définition

Sn+1=Sn+n+1

Supposant HR(n) vraie pour un entier n fixé, on va montrer qu'il en découle nécessairement HR(n+1) :

HR(n+1):Sn+1=(n+1)(n+1+1)2
Sn+1=(n+1)(n+1+1)2<=>
Sn+n+1=n²+3n+22<=>
n(n+1)2+n+1=n²+3n+22<=>
n(n+1)+2n+22=n²+3n+22

C.Q.F.D

Trivial, oui, oui, je sais... Mais peut-être pas tant que ça.

Démonstration alternative

Il est intéressant de noter que si comme moi, ingénieur au rabais, vous découvrez le monde fabuleux et féérique des mathématiques, cette démonstration par récurrence, en fait, ne nous donne pas vraiment d'intuition sur l'origine de la formule. Elle nous dis juste qu'elle fonctionne. Et ça, les amis, c'est un gros problème dans l'enseignement. Mais on est pas la pour faire de la politique. On est là pour comprendre ce qu'on fait.

On va donc essayer de proposer une démonstration alternative basé sur une approche plus intuitive. Démonstration que Carl Friedrich Gauss aurait réalisé à l'âge de neuf ans. C'est vrai que je me sentais pas assez naze jusque là.

Cette formule qu'on a vu, qu'on appel aussi "formule de sommation de Gauss", peut être matérialisé par un dessin.

Et là, ça devient tout de suite plus clair. Quand n est fixé à 4. On construit une sorte d'escalier dans lequel chaque marche, en noir, correspond à une itération de la somme.

Comme ce qu'il se passe est représenté dans l'espace, des choses appairaissent subitement à l'esprit, et l'on peut avoir instantanément l'intuition d'une formule qui in fine nous ramène à celle de la définition d'origine :

Sn=n²2+n2=n(n+1)2

C'est ce qu'on appel une preuve sans mot, dont notre exemple est un célèbre représentant.

Comme ces démonstrations sont parfoit trompeuses (ça fera peut-être l'objet d'un autre billet) il est utile, voir nécessaire, de réaliser une démonstration plus formelle qui elle, malheureusement, pourrait être moins intuitive sur l'origine de la propriété que l'on cherche démontrer.

Dans notre cas, cette démonstration peu intuitive est celle que nous avons réalisé par récurrence au début de cet article.

Série géométrique

n=0arn=a+ar+ar2+...+arn=a1r

avec

0r<1

Donc là, il s'agit d'une série d'éléments d'une suite géométrique. Comme je suis grand seigneur, je vais rapidement expliquer ce qu'est une suite géométrique. De rien.

Donc une suite géométrique peut trivialement être décrite comme une fonction récursive dont le terme courant est le résultat du produit d'un nombre r et du terme précédent de la suite.

Un=r.Un1

avec

U0=a

On dit que r est la raison de la suite Un.

Et donc, dans le cas de notre série on somme les n termes de notre suite géométrique avec n allant de 0 vers l'infini et au delà.

Bon, et du coup, ce que l'on veut tacher de démontrer c'est :

n=0arn=a1r

Démonstration

Rappelons que

0r<1

et notons

Sn=k=0arn=a+ar+ar2+...+arn

Il vient que

r.Sn=n=0arn+1=ar+ar2+ar3+...+arn+1

Et que se passe-t-il si on effectue Snr.Sn ?

Snr.Sn =a+ar+ar2+...+arn
arar2ar3...arn+1
Sn(1r) =aarn+1

On voit que tous les termes s'annulent à l'exception de a et arn+1. Dans ce genre de cas, le sympathique sobriquet de "somme téléscopique" est assigné à ce type de formule.

On commence à arriver au bout, parce que du coup :

Sn=aarn+11r

Et ça, les amis, et bien ça ressemble vachement à la formule que l'on cherche à démontrer ! Et c'est aussi là que 0r<1 prend toute son importance. Parce que ça signifie que quand n tend vers l'infini, arn+1 tend vers 0. Du coup... On a bien

n=0arn=a1r

C.Q.F.D

Ou pas ?

Parce que tous ça nous amène à la notion de convergence et de limite. Dans notre cas, la situation est assez intuitive, alors c'est cool. Mais il se trouve qu'il y a un formalisme spécifique pour les cas comme le nôtre où une série, une suite, ou une fonction converge vers une valeur donnée.

Du coup, comme on est des gens sérieux. On verra quand même ça, mais dans le prochain billet.

Merci au maître du logos pour sa précieuse relecture et ses conseils !