Denis Salem | Blog

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Une petite démonstration en MathML, si l'affichage ne fonctionne pas, ou que les équations ne veulent rien dire, c'est probablement que votre navigateur ne supporte pas MathML.

On se propose de démontrer la propriété suivante

n , ( 1 + i ) n + ( 1 - i ) n

Notons

z 1 = ( 1 + i ) z 2 = ( 1 - i )

Et par définition on à

z 1 ¯ = z 2

Dans un premier temps, intéressons nous à ce qu'il se passe quand on multiplie deux nombres comlexes conjugués:

z a ¯ . z b ¯ = ( a - i b ) ( c - i d )
= a c - i a d - i b c - b d
= ( a c - b d ) - i ( a d + b c )

Puis regardons le conjugué du produit de ces deux nombres complexes:

z a . z b ¯ = ( a + i b ) ( c + i d ) ¯
= a c + i a d + i b c - b d ¯
= ( a c - b d ) + i ( a d + b c ) ¯

On montre ainsi que

z a ¯ . z b ¯ = z a . z b ¯

il s'ensuit

n , z ¯ n = z n ¯

Ainsi

z 1 n + z 2 n z 1 n + z 1 n ¯

Or, par définition

z + z ¯ = ( a + i b ) + ( a - i b ) = 2 a

Ainsi

z 1 n + z 2 n

C.Q.F.D