../feed-logo.png RSS ATOM

CATEGORIES

ARCHIVES

Bon, donc, il s'agit d'une petite démonstration pas folichonne, mais quand on est un noob comme moi, on se challenge comme on peut.

On se propose de démontrer la proposition (P) suivante.

n,(a+ib)n+(aib)n

Lemme (A)

Notons

z1=(a+ib) z2=(c+id)

Dans un premier temps, intéressons nous à ce qu'il se passe quand on multiplie deux nombres complexes tous les deux conjugués :

z1¯.z2¯=(a+ib)¯(c+id)¯
=(aib)(cid)
=aciadibcbd
=(acbd)i(ad+bc)

Puis regardons le conjugué du produit de ces deux nombres complexes :

z1.z2¯=(a+ib)(c+id)¯
=ac+iad+ibcbd¯
=(acbd)+i(ad+bc)¯
=(acbd)i(ad+bc)

On montre ainsi que

z1¯.z2¯=z1.z2¯

Corollaire (C)

Pour un nombre complex z on a

z¯.z¯=z.z¯

Lemme (B)

À présent démontrons par récurrence la propriété

HR(n):n,zn¯=z¯n

La propriété étant vrai pour les cas triviaux n = 0 et n=1, à l'aide du corrolaire (C) on peut initializer ainsi :

z¯.z¯=z¯2z¯.z¯=z.z¯=z2¯ z¯2=z2¯

On aurait pu vérifier formellement HR(0) et HR(1), mais c'est plus rigolo dirons-nous d'utiliser le corrolaire (C) au rang 2.

Supposant HR(n) vrai, pour un n donné, on regarde ce qu'il en est de HR(n+1) :

zn+1¯=zn.z¯

Avec le lemme (A) on a :

zn.z¯=zn¯.z¯

Et comme on suppose HR(n), on a alors :

z¯n.z¯=z¯n+1

C'est à dire

zn+1¯=z¯n+1

L'hérédité est acquise.

Démonstration de (P)

Étant donné la proposition (P)

n,(a+ib)n+(aib)n

On pose

z=(a+ib)

on note alors

n,zn+z¯n

Avec le lemme (B), la proposition (P) peut s'écrire ainsi :

n,zn+zn¯

Or la somme d'une nombre complexe et de son conjugé appartenant toujours à ℝ la propriété (P) est démontrée.

Merci au maitre du logos ;) pour sa précieuse relecture et ses suggestions!